Bereits im Alter von fünf Jahren erhielt Felix Klieser seinen ersten Hornunterricht. Er lernte, die Ventile mit den Zehen des linken Fußes zu bedienen. Dabei ist das Instrument auf einem speziellen, von einem Instrumentenbauer für ihn entwickelten Metallständer stabil befestigt. Er ist damit in der Lage, allen in der Hornliteratur bekannten Anforderungen an die Geläufigkeit zu genügen. Ebenso erarbeitete er sich eine spezifische Ansatztechnik, die ihn den typischen weichen und dunklen Klang des Horns auch ohne Hand im Schalltrichter (Stopftechnik) erzeugen lässt. Sollte diese, für das Horn übliche Spieltechnik einmal unumgänglich sein, nutzt er einen ebenfalls für ihn entwickelten mechanischen Apparat zum Stopfen, den er mit dem rechten Fuß bedienen kann. Felix Klieser gewann als Jugendlicher zahlreiche Preise bis hin zum Bundeswettbewerb Jugend musiziert. Bereits mit 13 Jahren wurde er an der Musikhochschule Hannover als Jungstudent aufgenommen, wo er im Wintersemester 2010/2011 ein reguläres Musikstudium begann. Hier wurde Markus Maskuniitty, ehemaliger Solohornist der Berliner Philharmoniker, sein Lehrer. Meisterkurse, u. a. bei Peter Damm, rundeten seine Ausbildung ab. Neben seinem Studium ist er als Konzertsolist vor allem in Deutschland und den Nachbarländern unterwegs. Von 2008 bis 2011 gehörte Felix Klieser dem Bundesjugendorchester an, mit dem er in bedeutenden Konzertsälen im In- und Ausland konzertierte. 2010 erhielt er in Innsbruck den „Life Award“ in der Kategorie „Kunst und Kultur“. Im Herbst 2014 erhielt Felix Klieser den ECHO Klassik Preis in der Kategorie „Nachwuchskünstler des Jahres“, den Musikpreis des Verbandes der Deutschen Konzertdirektionen sowie den Leonard Bernstein Award im Februar 2016. Eingespielt hat Felix Klieser romantische Musik für Horn und Klavier, die Hornkonzerte von W.A. Mozart, Joseph und Michael Haydn sowie Horntrios von Duvernois, Brahms, Koechlin, Kahn.